Дискретная функция распределения. Функция распределения случайной величины
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .
Задание 2 . Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.
Задание 3 . Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.
Задание 4
. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом:
f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .
Задача . Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x).
Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a:
или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3
Дисперсия .
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Пример №1 . Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется:
- Определить коэффициент A .
- найти функцию распределения F(x) .
- схематично построить графики F(x) и f(x) .
- найти математическое ожидание и дисперсию X .
- найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).
Решение :
Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):
Найдем параметр A из условия:
или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14
Функцию распределения можно найти по формуле.
Чтобы найти функции распределения случайных величин и их переменных, необходимо изучить все особенности данной области знаний. Существует несколько различных методов для нахождения рассматриваемых значений, включая изменение переменной и генерирование момента. Распределение - такое понятие, в основу которого легли такие элементы, как дисперсия, вариации. Однако они характеризуют только степень размаха рассеяния.
Более важными функциями случайных величин являются те, которые связаны и независимы, и одинаково распределены. Например, если X1 - вес случайно выбранного индивидуума из популяции самцов, X2 - вес другого, ..., а Xn - вес еще одного человека из мужского населения, тогда, необходимо узнать, как случайная функция X распределяется. В этом случае применима классическая теорема, называемая центральной предельной. Она позволяет показать, что при больших n функция следует стандартным распределениям.
Функции одной случайной переменной
Центральная предельная теорема предназначена для аппроксимации дискретных рассматриваемых значений, таких как биномиальное и Пуассона. Функции распределения случайных величин, рассматриваются, в первую очередь, на простых значениях одной переменной. Например, если X является непрерывной случайной величиной, имеющей собственное распределение вероятности. В данном случае исследуется, как найти функцию плотности Y, используя два разных подхода, а именно метод функции распределения и изменения переменной. Сначала рассматриваются только взаимно однозначные значения. Затем необходимо модифицировать технику изменения переменной, чтобы найти ее вероятность. Наконец, нужно узнать, как кумулятивного распределения может помочь моделировать случайные числа, которые следуют за определенными последовательными схемами.
Методика распределения рассматриваемых значений
Метод функции распределения вероятностей случайной величины применим для того, чтобы найти ее плотность. При использовании этого способа вычисляется кумулятивное значение. Затем, дифференцируя его, можно получить плотность вероятности. Теперь, при наличии метода функции распределения, можно рассмотреть еще несколько примеров. Пусть X - непрерывная случайная величина с определенной плотностью вероятности.
Какова функция плотности вероятности от x2? Если посмотреть или построить график функции (сверху и справа) у = х2, можно отметить, что она является возрастающей X и 0 В последнем примере большую осторожность использовали для индексирования кумулятивных функций и плотности вероятности либо с помощью X, либо с Y, чтобы указать, к какой случайной переменной они принадлежали. Например, при нахождении кумулятивной функции распределения Y получили X. Если необходимо найти случайную величину X и ее плотность, то ее просто нужно дифференцировать. Пусть X - непрерывная случайная величина заданная функцией распределения с общим знаменателем f (x). В этом случае, если поместить значение y в X = v (Y), то получится значение x, например v (y). Теперь, нужно получить функцию распределения непрерывной случайной величины Y. Где первое и второе равенство имеет место из определения кумулятивной Y. Третье равенство выполняется потому, что части функции, для которой u (X) ≤ y, также верно, что X ≤ v (Y). И последнее выполняется для определения вероятности в непрерывной случайной величине X. Теперь нужно взять производную от FY (y), кумулятивной функции распределения Y, чтобы получить плотность вероятности Y. Пусть X - непрерывная случайная величина с общим f (x), определенная над c1 Для решения этого вопроса можно собирать количественные данные и использовать эмпирическую кумулятивную функцию распределения. Обладая этой информацией и апеллируя ею, нужно комбинировать образцы средств, стандартные отклонения, медиаданные и так далее. Аналогично даже довольно простая вероятностная модель может иметь огромное количество результатов. Например, если перевернуть монету 332 раза. Тогда число получаемых результатов от переворотов больше, чем у google (10100) - число, но не менее 100 квинтиллионов раз выше элементарных частиц в известной вселенной. Не интересен анализ, который дает ответ на каждый возможный результат. Потребуется более простая концепция, такая как количество головок или самый длинный ход хвостов. Чтобы сосредоточить внимание на вопросах, представляющих интерес, принимается определенный результат. Определение в данном случае следующее: случайная величина является вещественной функцией с вероятностным пространством. Диапазон S случайной величины иногда называют пространством состояний. Таким образом, если X - рассматриваемое значение, то так N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и так далее. Последнее из них, округляя X до ближайшего целого числа, называют функцией пола. Как только определена интересующая функция распределения случайной величины х, вопрос обычно становится следующим: «Каковы шансы, что X попадает в какое-то подмножество значений B?». Например, B = {нечетные числа}, B = {больше 1} или B = {между 2 и 7}, чтобы указать эти результаты, которые имеют X, значение случайной величины, в подмножестве А. Таким образом, в приведенном выше примере можно описать события следующим образом. {X - нечетное число}, {X больше 1} = {X> 1}, {X находится между 2 и 7} = {2 Таким образом, можно вычислить вероятность того, что функция распределения случайной величины x примет значения в интервале путем вычитания. Необходимо подумать о включении или исключении конечных точек. Будем называть случайную переменную дискретной, если она имеет конечное или счетное бесконечное пространство состояний. Таким образом, X - число головок на трех независимых флипсах смещенной монеты, которая поднимается с вероятностью p. Нужно найти кумулятивную функцию распределения дискретной случайной величины FX для X. Пусть X - количество пиков в коллекции из трех карт. То Y = X3 через FX. FX начинается с 0, заканчивается на 1 и не уменьшается с увеличением значений x. Кумулятивная FX функция распределения дискретной случайной величины X является постоянной, за исключением прыжков. При скачке FX является непрерывной. Доказать утверждение о правильной непрерывности функции распределения из свойства вероятности можно с помощью определения. Звучит оно так: постоянная случайная величина имеет кумулятивную FX, которая дифференцируема. Чтобы показать, как это может произойти, можно привести пример: мишень с единичным радиусом. Предположительно. дротик равномерно распределяется на указанную область. Для некоторого λ> 0. Таким образом, функции распределения непрерывных случайных величин плавно увеличиваются. FX обладает свойствами функции распределения. Человек ждет автобуса на остановке, пока тот не прибудет. Решив для себя, что откажется, когда ожидание достигнет 20 минут. Здесь необходимо найти кумулятивную функцию распределения для T. Время, когда человек еще будет находиться на автовокзале или не уйдет. Несмотря на то, что кумулятивная функция распределения определена для каждой случайной величины. Все равно достаточно часто будут использоваться другие характеристики: масса для дискретной переменной и функция плотности распределения случайной величины. Обычно выводится значение через одно из этих двух значений. Эти значения рассматриваются следующими свойствами, которые имеют общий (массовый характер). Первое основано на том, что вероятности не отрицательны. Второе следует из наблюдения, что набор для всех x=2S, пространство состояний для X, образует разбиение вероятностной свободы X. Пример: броски необъективной монеты, результаты которой независимы. Можно продолжать выполнять определенные действия, пока не получится бросок голов. Пусть X обозначает случайную величину, которая дает количество хвостов перед первой головой. А p обозначает вероятность в любом заданном действии. Итак, массовая функция вероятности имеет следующие характерные признаки. Поскольку члены образуют численную последовательность, X называется геометрической случайной величиной. Геометрическая схема c, cr, cr2,. , crn имеет сумму. И, следовательно, sn имеет предел при n 1. В этом случае бесконечная сумма является пределом. Функция массы выше образует геометрическую последовательность с отношением. Следовательно, натуральных чисел a и b. Разность значений в функции распределения равна значению массовой функции. Рассматриваемые значения плотности имеют определение: X - случайная величина, распределение FX которой имеет производную. FX, удовлетворяющая Z xFX (x) = fX (t) dt-1, называется функцией плотности вероятности. А X называется непрерывной случайной величиной. В основной теореме исчисления функция плотности является производной распределения. Можно вычислить вероятности путем вычисления определенных интегралов. Поскольку собираются данные по нескольким наблюдениям, то должно рассматриваться более одной случайной величины за раз, чтобы моделировать экспериментальные процедуры. Следовательно, множество этих значений и их совместное распределение для двух переменных X1 и X2 означает просмотр событий. Для дискретных случайных величин определяются совместные вероятностные массовые функции. Для непрерывных рассматриваются fX1, X2, где совместная плотность вероятности удовлетворяется. Две случайные величины X1 и X2 независимы, если любые два связанных с ними события такие же. В словах вероятность того, что два события {X1 2 B1} и {X2 2 B2} происходят одновременно, y равно произведению переменных указанных выше, что каждая из них происходит индивидуально. Для независимых дискретных случайных величин имеется совместная вероятностная массовая функция, которая является произведением предельного объема ионов. Для непрерывных случайных величин являющихся независимыми, совместная функция плотности вероятности - произведение значений предельной плотности. В заключение рассматриваются n независимые наблюдения x1, x2,. , xn, возникающие из неизвестной плотности или массовой функции f. Например, неизвестный параметр в функциях для экспоненциальной случайной величины, описывающей время ожидания автобуса. Основная цель этой теоретической области - предоставить инструменты, необходимые для разработки умозаключительных процедур, основанных на обоснованных принципах статистической науки. Таким образом, одним из очень важных вариантов применения программного обеспечения является способность генерировать псевдоданные для имитации фактический информации. Это дает возможность тестировать и совершенствовать методы анализа перед необходимостью использования их в реальных базах. Это требуется для того, чтобы исследовали свойства данных посредством моделирования. Для многих часто используемых семейств случайных величин R предоставляет команды для их создания. Для других обстоятельств понадобятся методы моделирования последовательности независимых случайных величин, которые имеют общее распределение. Дискретные случайные переменные и образец Command. Команда sample используется для создания простых и стратифицированных случайных выборок. В результате, если вводится последовательность x, sample (x, 40) выбирает 40 записей из x таким образом, что все варианты размера 40 имеют одинаковую вероятность. Это использует команду R по умолчанию для выборки без замены. Можно использовать также для моделирования дискретных случайных величин. Для этого нужно предоставить пространство состояний в векторе x и массовой функции f. Вызов для replace = TRUE указывает, что сэмплирование происходит с заменой. Затем, чтобы дать образец из n независимых случайных величин, имеющих общую массовую функцию f, используется образец (x, n, replace = TRUE, prob = f). Определено, что 1 является наименьшим представленным значением, а 4 является наибольшим из всех. Если команда prob = f опущена, то образец будет выбирать равномерно из значений в векторе x. Проверить симуляцию против массовой функции, которая генерировала данные, можно обратив внимание на знак двойного равенства, ==. И пересчитав наблюдения, которые принимают каждое возможное значение для x. Можно сделать таблицу. Повторить это для 1000 и сравнить моделирование с соответствующей функцией массы. Сначала смоделировать однородные функции распределения случайных величин u1, u2,. , un на интервале . Около 10 % чисел должно находиться в пределах . Это соответствует 10 % симуляций на интервале для случайной величины с показанной функцией распределения FX. Точно так же около 10 % случайных чисел должно находиться в интервале . Это соответствует 10 % симуляций на интервале случайной величины с функцией распределения FX. Эти значения на x ось может быть получена из взятия обратной от FX. Если X - непрерывная случайная величина с плотностью fX, положительной всюду в своей области, то функция распределения строго возрастает. В этом случае FX имеет обратную функцию FX-1, известную как функция квантиля. FX (x) u только тогда, когда x FX-1 (u). Преобразование вероятности следует из анализа случайной переменной U = FX (X). FX имеет диапазон от 0 до 1. Он не может принимать значения ниже 0 или выше 1. Для значений u между 0 и 1. Если можно моделировать U, то необходимо имитировать случайную величину с распределением FX через функцию квантиля. Взять производную, чтобы увидеть, что плотность u варьируется в пределах 1. Поскольку случайная величина U имеет постоянную плотность по интервалу своих возможных значений, она называется равномерной на отрезке . Он моделируется в R с помощью команды runif. Идентичность называется вероятностным преобразованием. Видно, как оно работает в примере с дротильной доской. X между 0 и 1, функция распределения u = FX (x) = x2, и, следовательно, функция квантиля x = FX-1 (u). Можно моделировать независимые наблюдения расстояния от центра панели дротика, и создавая при этом равномерные случайные величины U1, U2,. , Un. Функция распределения и эмпирическая основаны на 100 симуляциях распределения дартс-доски. Для экспоненциальной случайной величины, предположительно u = FX (x) = 1 - exp (- x), и, следовательно, x = - 1 ln (1 - u). Иногда логика состоит из эквивалентных утверждений. В этом случае нужно объединить две части аргумента. Тождество с пересечением аналогично для всех 2 {S i i} S, вместо некоторого значения. Объединение Ci равно пространству состояний S и каждая пара взаимно исключена. Поскольку Bi - разбита на три аксиомы. Каждая проверка основана на соответствующей вероятности P. Для любого подмножества. Используя тождество, чтобы убедиться, что ответ не зависит от того, включены ли конечные точки интервала. Для каждого результата во всех событиях в конечном счете используется второе свойство непрерывности вероятностей, которое считается аксиоматическим. Закон распределения функции случайной величины здесь показывает, что каждой свое решение и ответ. Результат
любого случайного эксперимента можно
характеризовать качественно и количественно. Качественный
результат случайного эксперимента - случайное
событие
. Любая количественная
характеристика
, которая в результате
случайного эксперимента может принять одно из
некоторого множества значений, - случайная
величина.
Случайная величина
является
одним из центральных понятий теории
вероятностей. Пусть -
произвольное вероятностное пространство. Случайной
величиной
называется действительная числовая
функция x
=x
(w
), w
W
, такая, что
при любом действительном x . Событие
принято
записывать в виде x
< x
. В
дальнейшем случайные величины будем обозначать
строчными греческими буквами x
, h
, z
, …
Случайной величиной является число очков,
выпавших при бросании игральной кости, или рост
случайно выбранного из учебной группы студента.
В первом случае мы имеем дело с дискретной
случайной
величиной
(она принимает значения из
дискретного числового множества M=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
во втором случае - с непрерывной
случайной
величиной
(она принимает значения из
непрерывного числового множества - из промежутка
числовой прямой I
=). Каждая случайная величина полностью
определяется своей функцией распределения
. Если x
.- случайная величина, то
функция F
(x
) = F x
(x
)
= P
(x
< x
) называется функцией
распределения
случайной величины x
. Здесь P
(x
< x
) - вероятность
того, что случайная величина x
принимает значение, меньшее x
. Важно понимать, что функция распределения
является “паспортом” случайной величины: она
содержит всю информация о случайной величине и
поэтому изучение случайной величины
заключается в исследовании ее
функции
распределения,
которую часто называют просто распределением
. Функция распределения любой случайной
величины обладает следующими свойствами: Если x
- дискретная
случайная величина, принимающая значения x
1
< x
2 < … < x i
< … с
вероятностями p
1 < p
2 < … <
p i
< …, то таблица вида называется распределением дискретной
случайной величины
. Функция распределения случайной величины, с
таким распределением, имеет вид У дискретной случайной величины функция
распределения ступенчатая. Например, для
случайного числа очков, выпавших при одном
бросании игральной кости, распределение, функция
распределения и график функции распределения
имеют вид: Если функция распределения F x
(x
) непрерывна, то случайная
величина x
называется непрерывной
случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной
случайной величины дифференцируема
, то более
наглядное представление о случайной величине
дает плотность вероятности случайной величины
p x
(x
),
которая
связана с функцией распределения F x
(x
) формулами и . Отсюда, в частности, следует, что для любой
случайной величины . При решении практических задач часто
требуется найти значение x
, при котором
функция распределения F x
(x
)
случайной величины x
принимает
заданное значение p
, т.е. требуется решить
уравнение F x
(x
) = p
.
Решения такого уравнения (соответствующие
значения x
) в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью x p (p
-квантилью, квантилью
уровня p
) случайной величины , имеющей функцию распределения F x
(x
), называют решение x p
уравнения F x
(x
) = p
,
p
(0, 1). Для некоторых p
уравнение F x
(x
) = p
может иметь
несколько решений, для некоторых - ни одного. Это
означает, что для соответствующей случайной
величины некоторые квантили определены
неоднозначно, а некоторые кванитили не
существуют. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение
, меньшее х
Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением F(jc) = 0 при х
х
F(x) =
0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F{x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х
> 5. Итак (см. рис. 2.1): Свойства функции распределения: 1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х
2
>х
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности - равна единице, т.е. 4. Вероятность попадания случайной величины X
в интервал
равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а
до b
(см. рис. 2.2), т.е.
Рис. 2.2 3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле: F(x)=
Jp (*)*. (2.10) 4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице: Геометрически свойства / и 4
плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения
- лежит не ниже оси абсцисс
, и полная площадь фигуры
, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс
, равна единице.
Для непрерывной случайной величины X
математическое ожидание М(Х)
и дисперсия D(X)
определяются по формулам: (если интеграл абсолютно сходится); или
(если приведенные интегралы сходятся). Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек. Квантилем уровня q
(или q-квантилем) называется такое значение
x q
случайной величины
, при котором функция ее распределения принимает значение
, равное q,
т. е. По данным примера 2.6 найти квантиль xqj и 30%-ную точку случайной величины X.
Решение. По определению (2.16) F(xo t3)= 0,3, т. е. ~Y~ =
0,3, откуда квантиль х 0
3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X
, или квантиль Х)_о,з = xoj
» находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ? Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные
v* и центральные
р* моменты к-го порядка
, определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам: Функция распределения вероятностей и ее свойства.
Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), если x 2, > x 1 , т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией. 5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) при х→ x o Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=x k }=p k , k=1,2,..n. Если x ≤ x 1 , то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x 1 < x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Значит, F(x)=P{X=x 1 }=p 1 .При x 2 < x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал , Δx>0: P{x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P{x≤ X < x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Α и(или) Β совпадают с возможными значениями случайной величин.
Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).Техника смены переменных
Обобщение для функции уменьшения
Функции распределения
Случайные переменные и функции распределения
Массовые функции
Независимые случайные переменные
Имитация случайных переменных
Иллюстрирование трансформации вероятности
Экспоненциальная функция и ее переменные
x
1
x
2
…
x i
…
p
1
p
2
…
p i
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Рассмотрим свойства функции F(x).