Q у │z 1 =а = 0 ;

R A – q . а = 0 ,

20 – 20а = 0 , откуда а = 1 м.

М х │z 1 =1 = 10 + 20 . 1 – 10 . 12 = 20 кНм.

2-й участок.

(1 м ≤ z 2 ≤ 2 м)

Q у = - R В – q . (z2 – 1) = -20 + 20 . (z 2 – 1) = +20z 2 – 40

(прямая с тем же наклоном) ;

при z 2 = 2 м

Q у = 20 . 2 – 40 = 0 ,

при z 2 = 1 м

Q у = 20 . 1 – 40 = - 40 кН,

(z2 – 1)

Мх = - М2 + RВ . (z2 – 1 ) - q . (z2 – 1 ) . ----------

1. Определим неизвестную опорную реакцию R , составив уравнение

равновесия для всего стержня и учитывая С 2.5, С 2.4, К 2.5, К 2.4 (рис. 3.20).

∑Z = 0 ,

R – F1 + F2 + F3

Q 1 . 2 – q 2 . 3 = 0 ,

R = -40 + 10 + 20 + 30

2 – 5 . 3 ,

R = +35 кН.

F =10 кН F3 =20 кН

при z 3

м (правый край участка)

10 - 5 . 0 = -10 кН;

при z 3

м (левый край участка)

10 - 5 . 3 = -25 кН.

4 участок.

м ≤ z 4 ≤ 2 м (область определения N4 )

N 4 = F 3 + F 2 – F 1 – q 2

3 + q 1 . z 4 = 20 + 10 – 40 – 5 . 3 + 30 . z 4 = -25

30z 4

при z4 = 0 м

при z4 = 2 м

М1 =2М

М2 =5М

М3 =7М

М4 =3М

М z М кр

ℓ1

ℓ2

Расстояние в долях

точенная

а1 /а

а2 /а

а3 /а

Все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление , или заделка (рис.1,в).

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

2. Построение эпюр продольных сил Nz

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

Порядок расчета:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные - под осью.

3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр .

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Правило знаков для Мкр : условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным - в противном случае.

Пример 2. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Порядок расчета.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил .

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр .

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.

2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой . В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - Qy и изгибающий момент Mx .

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3. Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

Порядок расчета .

1. Намечаем характерные сечения.

Осевым растяжением (сжатием) прямого стержня называют такой вид его деформации, при котором в произвольном поперечном сечении возникает только одна составляющая внутренних усилий – продольная сила растяжения или сжатия.

Это возможно при условии, что внешняя нагрузка приводится к равнодействующим силам, действующим вдоль оси бруса.

Продольная сила растяжения принимается положительной величиной, а продольная сила сжатия – отрицательной.

Продольные силы определяются по методу сечений. Для этого необходимо разделить стержень на участки, которые ограничены точками оси бруса, где действуют внешние сосредоточенные силы. В пределах каждого участка нужно выбрать произвольное сечение на переменном расстоянии x от начала координат (от какого-нибудь торца стержня) и рассмотреть равновесие одной из частей стержня. При этом часть стержня, равновесие которой рассматривается, нагружается внешними силами и неизвестным продольным усилием N , которое направляется от сечения, то есть в соответствии с растяжением стержня. Используя условие равновесия ΣX i =0 , составляем уравнение равновесия, из которого определяем продольную силу N на каждом участке.

Изменение продольной силы по длине стержня можно отобразить графиком, который имеет название эпюра этого усилия.

Рассмотрим прямой стержень, расположенный горизонтально, жестко закрепленный на правом торце и нагруженный вдоль своей оси внешними силами F 1 , F 2 =2F 1 и F 3 =3F 1 (рис.9.1,а). Эти силы приложены соответственно в точках а, b, c. Закрепленную точку оси стержня обозначим буквой d.

Для определения продольных сил разделим стержень на три участка ab, bc и cd. В пределах каждого участка проведем произвольные поперечные сечения 1-1, 2-2 и 3-3, взятые на расстояниях x 1 , x 2 и x 3 от левого свободного конца стержня.

Отбросим, мысленно, правую часть от сечения 1-1, а ее действие на левую часть заменим неизвестной продольной силой N 1 , которая направлена от сечения (рис.9.1,б) и составим уравнение равновесия:

ΣX i =0, N 1 – F 1 =0 , откуда находим N 1 = F 1 . Таким образом, продольная сила на участке ab не зависит от x 1 и имеет постоянное значение

N 1 = F 1

Отбросим, мысленно, правую от сечения 2-2 часть бруса и заменим её действие на оставшуюся часть бруса неизвестной продольной силой N 2 , которая также направлена от сечения (рис.9.1,в). Составим уравнение равновесия:

ΣX i =0, N 2 – F 1 + 2F 1 =0, откуда находим N 1 = - F 1 . Таким образом, продольная сила на участке bc не зависит от x 2 и имеет отрицательное постоянное значение, то есть на этом участке стержень сжатучастку ильни переризиантажений вдоль оси середжени силы. В пределах каждого участка выбрать произвольный.

Аналогично определяем продольную силу N 3 на участке cd. Рассматриваем равновесие левой части стержня относительно сечения 3-3 (рис.9.1,г) и составляем уравнение равновесия:

ΣX i =0, N 3 – F 1 + 2F 1 – 3F 1 =0, откуда находим N 3 = 2F 1 . На этом участке стержень растягивается силой N 3 = 2F 1 , котораяне зависит от x 3 .

Построим А 1 = 20,2 см2; см4; см4;

эпюру N . Для этого:

Проведем нулевую прямую параллельно оси стержня;

Отложим вверх от нее положительные значения продольной силы, а вниз от нее отрицательные значения, приняв произвольный масштаб;

Соединим прямыми линиями вершины соседних ординат. Эти линии ограничивают эпюру продольных сил на отдельных участках.

На рис.9.1,д начерчена эпюра N . Для возможности ее использования, то есть для определения продольной силы в любом сечении, нужно заштриховать эпюру равномерно расположенными прямыми линиями перпендикулярно оси стержня.

Анализируя эту эпюру легко заметить, что она имеет скачки в точках, где действуют внешние силы. При этом величины скачков равняются действующим силам. На участках между внешними силами продольная сила остается постоянной, т.е. эпюра ограничена прямыми линиями параллельными оси бруса.

Определение перемещений

Задание

Для заданного статически определимого стального бруса требуется:

1) построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ, записав в общем виде для каждого участка выражения N и σ и указав на эпюрах их значения в характерных сечениях;

2) определить общее перемещение бруса и построить эпюру перемещений δ поперечных сечений, приняв модуль упругости Е = 2·10 МПа.

Цель работы – научиться строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, и определять перемещения.

Теоретическое обоснование

Виды нагружения бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – , называемый растяжением или сжатием . Равнодействующая внешних сил прикладывается в центре тяжести поперечного сечения и действует вдоль продольной оси. Внутренние силы определяются с помощью метода сечений. Нормальная сила в сечении бруса является равнодействующей нормальных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения

N = ∑F (5.1).

Величина продольных сил в разных сечениях бруса неодинакова. График, показывающий изменение величины продольных сил в сечении бруса по его длине, называется эпюрой продольных сил.

Закон распределения напряжений может быть определен из эксперимента. Установлено, что если на стержень нанести прямоугольную сетку, то после приложения продольной нагрузки вид сетки не изменится, она по-прежнему останется прямоугольной, а все линии прямыми. Поэтому можно сделать вывод о равномерном по сечению распределении продольных деформаций, а на основании закона Гука (σ = Eε ) и нормальных напряжений S = const. Тогда N = S· F , откуда получим формулу для определения нормальных напряжений в поперечном сечении при растяжении

σ = МПа (5.2)

A – площадь около рассматриваемого участка бруса;

N– равнодействующая внутренних сил в пределах этой площадки (согласно метода сечений).

Для обеспечения прочности стержня должно выполняться условие прочности - конструкция будет прочной, если максимальное напряжение ни в одной точке нагруженной конструкции не превышает допускаемой величины, определяемой свойствами данного материала и условиями работы конструкции, то есть

σ ≤ [σ ], τ ≤ [τ] (5.3)

При деформации бруса меняется его длина на и поперечный размер – на . Эти величины зависят и от начальных размеров бруса.

Поэтому рассматривают

– продольная деформация; (5.4)

– поперечная деформация. (5.5)

Экспериментально показано, что , где μ = 0, …, 0,5 – коэффициент Пуассона. Примеры: μ=0 – пробка, μ=0,5 – резина, – сталь.

В пределах упругой деформации выполняется закон Гука: , где E – модуль упругости, или модуль Юнга.

Порядок выполнения работы

1. Разбиваем брус на участки, ограниченные точками приложения сил (нумерацию участков ведем от незакрепленного конца);

2. Используя метод сечений, определяем величину продольных сил в сечении каждого участка: N = ∑F ;

3. Выбираем масштаб и строим эпюру продольных сил, т.е. под изображением бруса (или рядом) проводим прямую, параллельную его оси, и от этой прямой проводим перпендикулярные отрезки, соответствующие в выбранном масштабе продольным силам (положительное значение откладываем вверх (или вправо), отрицательное – вниз (или влево).

4. Определяем общее перемещение бруса и строим эпюру перемещений δ поперечных сечений.

5. Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что называется стержнем?

2. Какой вид нагружения стержня называются осевым растяжением (сжатием)?

3. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении стержня?

4. Что такое эпюра продольных сил и как она строится?

5. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого стержня, и по какой формуле они определяются?

6. Что называется удлинением стержня (абсолютной продольной деформацией)? Что такое относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?

7. Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации стержня?

8. Сформулируйте закон Гука. Напишите формулы для абсолютной и относительной продольных деформаций стержня.

9. Что происходит с поперечными размерами стержня при его растяжении (сжатии)?

10. Что такое коэффициент Пуассона? В каких пределах он изменяется?

11. С какой целью проводятся механические испытания материалов? Какие напряжения являются опасными для пластичных и хрупких материалов?

Пример выполнения

Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для нагруженного стального бруса (рис. 5.1). Определить удлинение (укорочение) бруса, если E

Рис.5.1

Дано: F = 2 kH, F = 5 kH, F = 2 kH, A = 2 см , А , l = 100 мм, l = 50 мм, l = 200 мм,