Физика - колебания и волны. Колебания и волны, законы и формулы Механические колебания и волны формулы и обозначения
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Колебаниями называются процессы, при которых движения или состояния системы регулярно повторяются во времени. Наиболее наглядно демонстрирует колебательный процесс качающийся маятник, но колебания свойственны практически всем явлениям природы. Колебательные процессы характеризуются следующими физическими величинами.
Период колебаний Т – промежуток времени, через который состояние системы принимают одинаковые значения: u (t + T ) = u (t ).
Частота колебаний n или f – число колебаний в 1 секунду, величина, обратная периоду: n = 1/Т . Измеряется в герцах (Гц), имеет размерность с –1 . Маятник, совершающий одно качание в секунду, колеблется с частотой 1 Гц. В расчетах нередко используют круговую, или цикличную частоту w = 2pn .
Фаза колебанийj – величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Измеряется в угловых величинах – градусах или радианах.
Амплитуда колебанийА – максимальное значение, которое принимает колебательная система, «размах» колебания.
Периодические колебания могут иметь самую разную форму, но наибольший интерес представляют так называемые гармонические, или синусоидальные колебания. Математически они записываются в виде
u (t ) = A sin j = A sin(w t + j 0),
где A – амплитуда, j – фаза, j 0 – ее начальное значение, w – круговая частота, t – аргумент функции, текущее время. В случае строго гармонического, незатухающего колебания, величины А , w и j 0 не зависят от t .
Любое периодическое колебание самой сложной формы может быть представлено в виде суммы конечного числа гармонических колебаний, а непериодическое (например, импульс) – бесконечным их количеством (теорема Фурье).
Система, выведенная из равновесия и предоставленная сама себе, совершает свободные, или собственные колебания, частота которых определяется физическими параметрами системы. Собственные колебания также могут быть представлены в виде суммы гармонических, так называемых нормальных колебаний, или мод.
Возбуждение колебаний может происходить тремя путями. Если на систему действует периодическая сила, меняющаяся с частотой f (маятник раскачивают периодическими толчками), система будет колебаться с этой – вынужденной – частотой. Когда частота вынуждающей силы f равна или кратна частоте собственных колебаний системы n , возникает резонанс– резкое возрастание амплитуды колебаний.
Если параметры системы (например, длину подвеса маятника) периодически изменяют, происходит параметрическое возбуждение колебаний. Оно наиболее эффективно, когда частота изменения параметра системы равна ее удвоенной собственной частоте: f пар = 2n соб.
Если колебательные движения возникают самопроизвольно (система «самовозбуждается»), говорят о возникновении автоколебаний, имеющих сложный характер.
Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h , ему сообщают потенциальную энергию mgh . Она полностью переходит в кинетическую энергию движения mv 2 /2, когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. Если при этом происходит потеря энергии, колебания становятся затухающими.
В физике отдельно рассматриваются колебания механические и электромагнитные – связанные колебания электрического и магнитного поля (свет, рентгеновское излучение, радио). В пространстве они распространяются в форме волн.
Волнойназывается возмущение (изменение состояния среды), которое распространяется в пространстве и несет энергию, не перенося вещества. Наиболее часто встречаются упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Упругие волны могут возбуждаться только в среде (газе, жидкости, твердом теле), а электромагнитные волны распространяются и в вакууме.
Если возмущение волны направлено перпендикулярно направлению ее распространения, волна называется поперечной, если параллельно – продольной. К поперечным относятся волны, бегущие по поверхности воды и вдоль струны, а также электромагнитные волны – векторы напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны вектору скорости волны. Типичный пример продольной волны – звук.
Уравнение, описывающее волну, можно вывести из выражения для гармонических колебаний. Пусть в какой-то точке среды происходит периодическое движение по закону А = A 0 sin w t . Это движение будет передаваться от слоя к слою – по среде побежит упругая волна. Точка, находящаяся на расстоянии x от точки возбуждения, станет совершать колебательные движения, отставая на время t , необходимое для прохождения волной расстояния х : t = x /c , где c – скорость волны. Поэтому законом ее движения будет
A x = A 0 sin w (t – x /c ),
или, так как w = 2p /T , где T - период колебаний,
A x = A 0 sin 2p (t /T – x /cT ).
Это – уравнение синусоидальной, или монохроматической волны, распространяющейся со скоростью с в направлении х . Все точки волны в момент времени t имеют разные смещения. Но ряд точек, отстоящих на расстояние cT одна от другой, в любой момент времени смещены одинаково (т.к. аргументы синусов в уравнении отличаются на 2p и, следовательно, их значения равны). Это расстояние и есть длина волны l = сТ . Она равна пути, который проходит волна за один период колебания.
Фазы колебаний двух точек волны, находящихся на расстоянии D х одна от другой, отличаются на Dj = 2p D х /l , и, следовательно, на 2p при расстоянии, кратном длине волны. Поверхность, во всех точках которой волна имеет одинаковые фазы, называется волновым фронтом. Распространение волны происходит перпендикулярно ему, поэтому оно может рассматриваться как движение волнового фронта в среде. Точки волнового фронта формально считают фиктивными источниками вторичных сферических волн, при сложении дающих волну исходной формы (принцип Гюйгенса-Френеля).
Скорость смещения элементов среды меняется по тому же закону, что и само смещение, но со сдвигом по фазе на p /2: скорость достигает максимума, когда смещение падает до нуля. То есть волна скоростей сдвинута относительно волны смещений (деформаций среды) по времени на Т /4, а в пространстве на l /4. Волна скоростей несет кинетическую энергию, а волна деформаций – потенциальную. Энергия все время переносится в направлении распространения волны +х со скоростью с .
Введенная выше скорость с отвечает распространению только бесконечной синусоидальной (монохроматической) волны. Она определяет скорость перемещения ее фазы j и называется фазовой скоростью с ф. Но на практике гораздо чаще встречаются как волны более сложной формы, так и волны, ограниченные во времени (цуги), а также совместное распространение большого набора волн разной частоты (например, белый свет). Подобно сложным колебаниям, волновые цуги и негармонические волны могут быть представлены в виде суммы (суперпозиции) синусоидальных волн разных частот. Когда фазовые скорости всех этих волн одинаковы, то вся их группа (волновой пакет) движется с одной скоростью. Если же фазовая скорость волны зависит от ее частоты w , наблюдается дисперсия – волны различных частот идут с разной скоростью. Нормальная, или отрицательная дисперсия тем больше, чем выше частота волны. За счет дисперсии, например, луч белого света в призме разлагается в спектр, в каплях воды – в радугу. Волновой пакет, который можно представить как набор гармонических волн, лежащих в диапазоне w 0 ± Dw , из-за дисперсии расплывается. Его форма – огибающая амплитуд компонент цуга – искажается, но перемещается в пространстве со скоростью v гр, называемой групповой скоростью. Если при распространении волнового пакета максимумы волн, его составляющих, движутся быстрее огибающей, фазовая скорость сигнала выше групповой: с ф > v гр. При этом в хвостовой части пакета за счет сложения волн возникают все новые максимумы, которые передвигаются вперед и пропадают в его головной части. Примером нормальной дисперсии служат среды, прозрачные для света – стекла и жидкости.
В ряде случаев наблюдается также аномальная (положительная) дисперсия среды, при которой групповая скорость превышает фазовую: v гр > с ф, причем возможна ситуация, когда эти скорости направлены в противоположные стороны. Максимумы волн появляются в головной части пакета, перемещаются назад и исчезают в его хвосте. Аномальная дисперсия наблюдается, например, при движении очень мелких (так называемых капиллярных) волн на воде (v гр = 2с ф).
Все методы измерения времени и скорости распространения волн, базирующиеся на запаздывании сигналов, дают групповую скорость. Именно ее учитывают при лазерной, гидро- и радиолокации, зондировании атмосферы, в системах радиоуправления и т.п.
При распространении волн в среде происходит их поглощение – необратимый переход энергии волны в другие ее виды (в частности – в теплоту). Механизм поглощения волн разной природы различен, но поглощение в любом случае приводит к ослаблению амплитуды волны по экспоненциальному закону: А 1 /А 0 = е a , где a – так называемый логарифмический декремент затухания. Для звуковых волн, как правило, a ~ w 2: высокие звуки поглощаются значительно сильнее низких. Поглощение света – падение его интенсивности I – происходит по закону Бугера I = I 0 exp(–k l l ), где exp(x ) = e x , k l – показатель поглощения колебания с длиной волны l , l – путь, пройденный волной в среде.
Рассеяние звука на препятствиях и неоднородностях среды приводит к расплыванию звукового пучка и, как следствие, – к затуханию звука по мере его распространения. При размере неоднородности L < l /2 рассеяние волны отсутствует. Рассеяние света происходит по сложным законам и зависит не только от размера препятствий, но и от их физических характеристик. В природных условиях наиболее сильно проявляется рассеяние на атомах и молекулах, происходящее пропорционально w 4 или, что то же самое, l -4 (закон Рэлея). Именно рэлеевским рассеянием обусловлен голубой цвет неба и красный – Солнца на закате. Когда размер частиц становится сравним с длиной волны света (r ~ l ), рассеяние перестает зависеть от длины волны, свет рассеивается больше вперед, нежели назад. Рассеяние на крупных частицах (r >> l ) происходит с учетом законов оптики – отражения и преломления света.
При сложении волн, разность фаз которых постоянна (см . КОГЕРЕНТНОСТЬ) возникает устойчивая картина интенсивности суммарных колебаний – интерференция. Отражение волны от стенки равносильно сложению двух волн, идущих навстречу одна другой с разностью фаз p . Их суперпозиция создает стоячую волну, в которой через каждую половину периода Т /2 лежат неподвижные точки (узлы), а между ними – точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой А (пучности).
Волна, падающая на препятствие или проходящая сквозь отверстие, огибает их края и заходит в область тени, давая картину в виде системы полос. Это явление называется дифракцией; оно становится заметным, когда размер препятствия (диаметр отверстия) D сравним с длиной волны: D ~ l .
В поперечной волне может наблюдаться явление поляризации, при котором возмущение (смещение в упругой волне, векторы напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной) лежит в одной плоскости (линейная поляризация) или вращается (круговая поляризация), меняя при этом интенсивность (эллиптическая поляризация).
При движении источника волн навстречу наблюдателю (или, что то же самое – наблюдателя навстречу источнику) наблюдается повышение частоты f , при удалении – понижение (эффект Доплера). Это явление можно наблюдать возле железнодорожного пути, когда мимо проносится локомотив с сиреной. В тот момент, когда он оказывается рядом с наблюдателем, происходит заметное понижение тона гудка. Математически эффект записывается как f = f 0 /(1 ± v /c ), где f – наблюдаемая частота, f 0 – частота излучаемой волны, v – относительная скорость источника, c – скорость волны. Знак «+» соответствует приближению источника, знак «–» – его удалению.
Несмотря на принципиально разную природу волн, законы, определяющие их распространение, имеют много общего. Так, упругие волны в жидкостях или газах и электромагнитные волны в однородном пространстве, излученные малым источником, описываются одним и тем же уравнением, а волны на воде, подобно свету и радиоволнам, испытывают интерференцию и дифракцию.
Сергей Транковсий
Колебания – изменения какой-либо физической величины, при которых эта величина принимает одни и те же значения. Параметры колебаний:
- 1) Амплитуда – величина наибольшего отклонения от состояния равновесия;
- 2) Период – время одного полного колебания, обратная величина – частота;
- 3) Закон изменения колеблющейся величины со временем;
- 4) Фаза – характеризует состояние колебаний в момент времени t.
F x = -r k – восстанавливающая сила
Гармонические колебания - колебания, при которых величина, вызывающая отклонение системы от устойчивого состояния, изменяется по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний. Колебания можно представлять графическим, аналитическим (например, x(t) = Asin (?t + ?), где? - начальная фаза колебания) и векторным способом (длина вектора пропорциональна амплитуде, вектор вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью? вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа, проходящей через начало вектора, угол отклонения вектора от оси X есть начальная фаза?). Уравнение гармонических колебаний:
Сложение гармонических колебаний , происходящих вдоль одной прямой с одинаковыми или близкими частотами. Рассмотрим два гармонических колебания, происходящих с одной частотой: x1(t) = A1sin(?t + ?1); x2(t) = A2sin(?t + ?2).
Вектор, представляющий собой сумму этих колебаний, вращается с угловой скоростью?. Амплитуда суммарного колебаний – векторная сумма двух амплитуд. Ее квадрат равен A?2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(?2 - ?1).
Начальная фаза определяется следующим образом:
Т.е. тангенс? равен отношению проекций амплитуды суммарного колебания на координатные оси.
В случае если частоты колебаний отличаются на величину 2?: ?1 = ?0 + ?; ?2 = ?0 - ?, где? << ?. Положим также?1 = ?2 = 0 и А1 = А2:
X 1 (t)+X 2 (t) = A(Sin(W o +?)t+Sin((W o +?)t) X 1 (t)+X 2 (t) =2ACos?tSinW?.
Величина 2Аcos?t есть амплитуда полученного колебания. Она медленно меняется во времени.
Биения . Результат суммы таких колебаний называется биением. В случае, если А1 ? А2, то амплитуда биения меняется в пределах от А1 + А2 до А1 – А2.
В обоих случаях (при равных и при различных амплитудах) суммарное колебание не является гармоническим, т.к. его амплитуда не постоянна, а медленно меняется во времени.
Сложение перпендикулярных колебаний. Рассмотрим два колебания, направления которых перпендикулярны друг другу (частоты колебаний равны, начальная фаза первого колебания равна нулю):
y= bsin(?t + ?).
Из уравнения первого колебания имеем: . Второе уравнение можно преобразовать следующим образом
sin?t?cos? + cos?t?sin? = y/b
Возведем обе части уравнения в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Получим(см ниже): . Полученное уравнение есть уравнение эллипса, оси которого несколько повернуты относительно осей координат. При? = 0 или? = ? эллипс принимает вид прямой y = ?bx/a; при? = ?/2 оси эллипса совпадают с осями координат.
Фигуры Лиссажу . В случае если?1 ? ?2, форма кривой, которую описывает радиус вектор суммарного колебаний гораздо более сложная, она зависит от отношения?1/?2. Если это отношение равно целому числу (?2 кратна?1), при сложении колебаний получаются фигуры, называемые фигурами Лиссажу.
Гармонический осцилятор – колеблющаяся система, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия.
Маятник , твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси. В физике под М. обычно понимают М., совершающий колебания под действием силы тяжести; при этом его ось не должна проходить через центр тяжести тела. Простейший М. состоит из небольшого массивного груза C, подвешенного на нити (или лёгком стержне) длиной l. Если считать нить нерастяжимой и пренебречь размерами груза по сравнению с длиной нити, а массой нити по сравнению с массой груза, то груз на нити можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса O (рис. 1, а). Такой М. называется математическим . Если же, как это обычно имеет место, колеблющееся тело нельзя рассматривать как материальную точку, то М. называется физическим .
Математический маятник . Если М., отклоненный от равновесного положения C0, отпустить без начальной скорости или сообщить точке C скорость, направленную перпендикулярно OC и лежащую в плоскости начального отклонения, то М. будет совершать колебания в одной вертикальной плоскости по дуге окружности (плоский, или круговой математический М.). В этом случае положение М. определяется одной координатой, например углом j, на который М. отклонен от положения равновесия. В общем случае колебания М. не являются гармоническими; их период T зависит от амплитуды. Если же отклонения М. малы, он совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом:
где g - ускорение свободного падения; в этом случае период T не зависит от амплитуды, то есть колебания изохронны.
Если отклонённому М. сообщить начальную скорость, не лежащую в плоскости начального отклонения, то точка C будет описывать на сфере радиуса l кривые, заключённые между 2 параллелями z = z1 и z = z2, а), где значения z1 и z2 зависят от начальных условий (сферический маятник). В частном случае, при z1 = z2, б) точка C будет описывать окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Из некруговых М. особый интерес представляет циклоидальный маятник, колебания которого изохронны при любой величине амплитуды.
Физический маятник . Физическим М. обычно называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса (рис. 1, б). Движение такого М. вполне аналогично движению кругового математического М. При малых углах отклонения j М. также совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом: ,
где I - момент инерцииМ. относительно оси подвеса, l - расстояние от оси подвеса O до центра тяжести C, M - масса М. Следовательно, период колебаний физического М. совпадает с периодом колебаний такого математического М., который имеет длину l0 = I/Ml. Эта длина называется приведённой длиной данного физического М.
Пружинный маятник - это груз массой m, закрепленный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы Fупр= - k x, где k - коэффициент упругости, в случае пружины наз. жесткостью. Ур движения маятника:, или.
Из приведенных выражений следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = A cos (w0 t +?j), с циклической частотой
и периодом
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (Fупр= - k x), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника равна
U = k x2/2 = m w02 x2/2 .
Вынужденные колебания. Резонанс . Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы. Частота вынужденных колебаний задается внешним источником и не зависит от параметров самой системы. Уравнение движения груза на пружине может быть получено формальным введением в уравнение некой внешней силы F(t) = F0sin?t: . После преобразований, аналогичных выводу уравнения затухающих колебаний, получаем:
Где f0 = F0/m. Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t) = Asin(?t + ?).
Слагаемое? появляется из-за инерционности системы. Запишем f0sin (?t - ?) = f(t) = f0 sin (?t + ?), т.е. сила действует с некоторым опережением. Тогда можно записать:
x(t) = A sin ?t.
Найдем А. Для этого подсчитаем первую и вторую производные последнего уравнения и подставим их в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Послед приведения подобных получим:
Теперь освежим в своей памяти представления о векторной записи колебаний. Что же мы видим? Вектор f0 представляет собой сумму векторов 2??A и A(?02 - ?2), причем эти вектора (почему-то) перпендикулярны. Запишем теорему Пифагора:
4?2?2A2 + A2(?02 - ?2)2 = f02:
Отсюда выражаем А:
Таким образом амплитуда А является функцией от частоты внешнего воздействия. Однако если колеблющаяся система обладает слабым затуханием? << ?, то при близких значениях? и?0 происходит резкое возрастание амплитуды колебаний. Это явление получило название резонанса.
Колебательным движением называется всякое движение или изменение состояния, характеризуемое той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы; ветры возбуждают колебания и волны на поверхности воды; внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы, например, с удивительной надежностью бьется человеческое сердце.
В физике выделяются колебания механические и электромагнитные. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем большое число прямой информации об окружающем мире. Примерами колебательного движения в механике могут быть колебания маятников, струн, мостов и т.д.
Колебания называются периодическими , если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания. Гармоническими называются колебания, при которых изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса (или косинуса):
где x – смещение от положение равновесия;
А – амплитуда колебания – максимальное смещение от положения равновесия;
- циклическая частота;
- начальная фаза колебания;
- фаза колебания; она определяет смещение в любой момент времени, т.е. определяет состояние колебательной системы.
В случае строго гармонических колебаний величины А, ине зависят от времени.
Циклическая частота связана с периодом Т колебаний и частотойсоотношением:
(2)
Периодом Т колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания.
Частотой
колебаний
называется число полных колебаний,
совершаемых за единицу времени, измеряется
в герцах (1 Гц = 1
).
Циклическая частота численно равна числу колебаний, совершаемых за 2 секунд.
Колебания, возникающее в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными (или собственными).
Если система консервативная, то при колебаниях не происходит рассеяния энергии. В этом случае свободные колебания называются незатухающими .
Скорость колебания точки определим как производную от смещения по времени:
(3)
Ускорение колеблющейся точки равно производной от скорости по времени:
(4)
Уравнение (4) показывает, что ускорение при гармонических колебаниях – переменно, следовательно, колебание обусловлено действием переменной силы.
Второй
закон Ньютона позволяет в общем виде
записать связь между силой F и ускорением
при прямолинейных гармонических
колебаниях материальной точки с массой
:
где
,
(6)
к – коэффициент упругости.
Таким образом, сила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать динамическое определение гармонического колебания: гармоническим называется колебание, вызываемое силой, прямо пропорциональной смещению х и направленной против смещения.
Возвращающей силой может быть, например, сила упругости. Силы, имеющие иную природу, чем упругие силы, но также удовлетворяющие условию (5), называются квазиупругими .
В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х ускорение равно:
.
Подставив
это выражение для ускорения
и значение силы
во второй закон Ньютона, получимосновное
уравнение прямолинейных гармонических
колебиний:
или
(7)
Решением этого уравнения является уравнение (1).
Механические колебания .
Амплитуда, циклическая частота, фаза гармонических колебаний. Гармонический осциллятор. Пружинный маятник. Физический маятник. Математический маятник. Сложение колебаний. Затухающие колебания. Декремент колебания. Добротность колебательной системы. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Резонанс. Резонансные кривые.
Электромагнитные колебания .
Колебательный контур. Формула Томсона. Переменный ток. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания, логарифмический декремент. Добротность. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях.
Волны .
Волновые процессы. Продольные поперечные волны. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Фронт волны. Волновая поверхность. Плоская волна. Бегущая волна. Сферическая волна. Стоячие волны. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Скорость распространения электромагнитных волн. Поляризация волн.
Оптика
Геометрическая оптика.
Элементы геометрической оптики. Законы геометрической оптики. Явление полного отражения. Линза. Формула тонкой линзы.
Волновая оптика.
Свет как электромагнитная волна. Когерентность и монохроматичность световых волн. Интерференционное поле от двух точечных источников. Опыт Юнга. Интерферометр Майкельсона. Интерференция в тонких пленках. Многолучевая интерференция.
Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля. Дифракция на одной щели. Дифракционная решетка. Дифракция Фраунгофера. Понятие о голографии. Распространение света в веществе. Дисперсия света. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при его отражении и преломлении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление.
Квантовая физика
Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
Квантовая природа излучения .
Тепловое излучение и его характеристики. Законы Кирхгофа. Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина. Формулы Рэлея-Джинса и Планка. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и импульс фотона. Давление света. Эффект Комптона. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения.
Физические модели атомов.
Модели атома Томсона и Резерфорда. Линейчатый спектр атома водорода. Эмпирические закономерности в атомных спектрах. Формула Бальмера.
Теория атома водорода по Бору. Постулаты Бора. Теория водородоподобного атома.
Квантовая природа вещества.
Элементы квантовой механики. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Гипотеза де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера. Дифракция микрочастиц. Принцип неопределенности Гейзенберга. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которым она должна удовлетворять. Уравнение Шредингера. Квантовая частица в одномерной потенциальной яме. Одномерный потенциальный порог и барьер. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.
Физика атомов и молекул.
Элементы современной физики атомов и молекул. Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Волновые функции и квантовые числа. Правила отбора для квантовых переходов. Опыт Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана.
Принцип Паули. Молекулярные спектры.
Оптические квантовые генераторы
Спонтанное и индуцированное излучение. Инверсное заселение уровней активной среды. Основные компоненты лазера. Условие усиления и генерации света. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров и их применение.
Физика атомного ядра и элементарных частиц.
Строение и свойства атомных ядер. Состав ядра. Изотопы. Масса и энергия связи в ядре. Радиоактивность. Ядерные реакции. Явление радиоактивности. Закон радиоактивного распада. Период полураспада. Понятие о ядерных реакциях. Законы сохранения в ядерных реакциях.
Современная физическая картина мира.
Иерархия строения материи. Эволюция Вселенной. Физическая картина мира как философская категория.
ПРИМЕРЫ ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ВАРИАНТ 1
Задача №1
В подвешенный на нити длиной м деревянный шар массой кг попадает горизонтально летящая пуля массой г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ней пулей отклонилась от вертикали на угол ? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым центральным.
столкновения как движение материальной точки с массой .
Запишем закон сохранения импульса для системы тел и :
где – общая скорость шара и пули после неупругого удара.
В проекции на ось x имеем:
Уравнение (1) позволяет выразить искомую величину через , которая в свою очередь может быть найдена на основании закона сохранения энергии в применении к системе после ее формирования, т.е. после неупругого столкновения.
Итак, из уравнения (1) имеем:
(2)
Запишем закон сохранения энергии для системы тел после неупругого соударения (полная механическая энергия остается величиной постоянной):
Величина может быть найдена из геометрических соображений:
Подставляя (3) в (2), получаем
.
Проверка размерности:
м/с.
Выполняем расчет:
Ответ: м/с.
Задача №2
Смесь водорода и азота общей массой г при температуре T = 600 К и давлении p = 2,46 МПа занимает объем V = 30 л. Определить массу m 1 водорода и массу m 2 азота.
Для определения парциального давления запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для каждого компонента:
, (2)
, (3)
где индексом “1” отмечены характеристики, относящиеся к водороду, а индексом “2” – к азоту. Выразим и из уравнений (2) и (3) и подставим в закон Дальтона (1):
; (4)
при этом . (5)
Из (4) и (5) следует
. (6)
Из (6) получаем
. (7)
Проверка размерности:
.
Ответ: = 0,01 кг, = 0,28 кг.
Задача №3
Две –частицы, находясь первоначально достаточно далеко друг от друга, движутся по одной прямой навстречу одна другой со скоростями и 2 соответственно. На какое наименьшее расстояние они могут сблизиться?
противоположны по направлению и равны по модулю . В подобной ситуации (точнее, в этой системе отсчета) частицы в момент наибольшего сближения останавливаются и при этом их кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию электростатического взаимодействия.
На основании закона сохранения энергии
.
,
где – электрическая постоянная.
Проверка размерности:
.
Ответ: .
Задача №4
Тонкий провод в виде кольца массой г свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток силой i =6 А. Период Т малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 2,2 с. Найти индукцию В магнитного поля.
Если же вектор магнитного момента не совпадает с вектором , то на контур действует возвращающий механический момент под действием которого контур будет совершать колебательные движения. (Здесь S – площадь, ограниченная контуром).
Запишем уравнение движения кругового контура для случая малых колебаний:
где – момент инерции кольца относительности оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр; – угловое ускорение, N - возвращающий механический момент, равный (при малых углах ); . Тогда уравнение (1) примет вид:
;
;
Таким образом, мы получаем уравнение гармонических колебаний кольца для которых циклическая частота .
Учитывая связь периода колебаний и частоты, имеем:
.
следовательно,
Проверка размерности:
.
(Tл)
Ответ: .
Задача №5
На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в n = 4,6 раза больше длины световой волны. Найти общее число m дифракционных максимумов, которое теоретически возможно наблюдать в данном случае.
Для решения задачи воспользуемся условием максимума дифракционной решетки. Разность хода лучей от соседних щелей должна быть равна целому числу длин волн.
, (1)
где k – порядок максимума.
Модуль не может превысить единицу.
Поэтому из формулы (1) вытекает, что наибольший порядок наблюдаемого максимума k max должен быть меньше отношения периода решетки d к длине волны λ
k max < ;L , где (скорости света). При напряжениях порядка В необходимо перейти к соотношениям релятивистской динамики:
и проводить анализ решения на основе этого соотношения.
Ответ: = 0,7 см.
Используемая литература:
1. Савельев, И.В. Курс общей физики: В 3 т. [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев.– Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006, Т.1- 496 с. – (Механика, колебания и волны, молекулярная физика).
2. Савельев, И.В. Курс общей физики: В 3 т. [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев.– Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006, Т.2. - 496 с.- (Электричество и магнетизм. Волны. Оптика).
3. Савельев, И.В. Курс общей физики: В 3 [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев. – Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006,т. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1982. Т.3 - 304 с. (Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц)
4. Пиралишвили,Ш.А. Механика. Электромагнетизм. - [Текст]/ Ш.А.Пиралишвили, Н.А.Мочалова, З.В.Суворова, Е.В.Шалагина, В.В.Шувалов. –М.: Машиностроение, 2006. -336с.
5. Пиралишвили, Ш.А. Колебания. Волны. Геометрическая и волновая оптика. Квантовая и ядерная физика. .- [Текст]/ Ш.А.Пиралишвили, Н.А.Мочалова, З.В.Суворова, Е.В.Шалагина, В.В.Шувалов. –М.: Машиностроение-1, 2007. -341с.
6. Пиралишвили, Ш.А.Термодинамика и молекулярная физика. Элементы статистической физики. Элементы физики конденсированного состояния. - [Текст]/ Ш.А.Пиралишвили, Н.А.Каляева, З.В.Суворова, Е.В.Шалагина, В.В.Шувалов. –М.: Машиностроение-1, 2008. -348с.
II семестр
Механические колебания и волны
Общая черта колебательных процессов – высокая степень повторяемости процесса.
Колебания подразделяются:
по природе: механические, электромагнитные;
по степени повторяемости: периодические, непериодические;
по свойствам: гармонические, ангармонические;
по способу возникновения: свободные, вынужденные.
Механические колебания
Колебательные системы
Колебания – физические процессы, которые происходят с определённой повторяемостью во времени.
Периодические колебания – колебания, при которых значения характерных параметров системы повторяются через равные промежутки времени.
Полное колебание – процесс, проходящие в системе за период.
Период – минимальный период времени, через который все параметры системы повторяются.
Частота – число полных колебаний, происходящих в единицу времени.
Циклическая частота – число полных колебаний за единиц времени.
Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону изменения гармонических функций.
Линейные колебания – колебания, возникающие в линейных системах.
Линейная система – система, реакция которой линейно зависит от воздействия.
Свободные (собственные) колебания – колебания, которые происходят в отсутствие внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы из состояния её устойчивого равновесия под действием внутренних сил системы.
Вынужденные колебания – колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Равновесие в механических системах и возникновение колебаний
Условие равновесия точечного
тела:
,
протяжённого тела:
,
.
Характерным свойством колебательной системы является наличие возвращающей (квазиупругой) силы.
,
;
.
Необходимое условие колебательной
системы:
.
Достаточность:
.
Свободные незатухающие колебания
Пружинный маятник:
,
,
,
,
где
.
Математический маятник:
.
,
.
,
,
,
,
,
,
где
.
Физический маятник:
,
,
,
,
,
,
,
где
.
Приведённая длина физического
маятника – длина математического
маятника, период колебаний которого
равен периоду колебаний физического
маятника,
.
Центр качания – математическая точка, отстоящая от точки подвеса на приведённую длину и лежащая на маятнике.
Если физический и математический маятники с приведённой длиной колеблются около одной оси, то материальная точка математического и центр качания физического маятника движутся синхронно, если вначале их отклонили на одинаковый угол и одновременно отпустили.
Точка подвеса и центр качания обратимы (можно подвесить за любую из них, период колебаний будет одинаков).
Уравнение колебаний
Все системы описываются
уравнением
,
где
(пружинный),
(математический),
(физический).
Переменная колебаний – параметр, характеризующий отклонение системы от положения равновесия. (x ).
Решение уравнения колебаний.
Линейный гармонический осциллятор – любая колебательная система, в которой возникают малые линейные гармонические колебания.
Основные характеристики гармонических колебаний
Амплитуда – максимальное
значение переменной колебания
(максимальное отклонение системы от
положения равновесия). Амплитуда всегда
положительна.
,A
– амплитуда.
Фаза – параметр, характеризующий
относительное значения отклонения
системы от положения равновесия (
).
Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени ().
Период:
,
частота
,- циклическая частота.
Свойства гармонических колебаний:
Частота и период гармонических колебаний определяются свойствами самой системы.
Амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний.
Период и частота не зависят от амплитуды.
Скорость и ускорение при колебаниях:
Пусть
.
Тогда,
.
Начальные условие – задание смещение и скорости в начальный момент времени.
Задание начальных условий определяет амплитуду и начальную фазу.
Кинетическая и потенциальная энергия системы:
.
Для пружинного маятника
- закон сохранения энергии при свободных
незатухающих колебаниях.
.,.
Энергия и вычисление периода колебаний:
Представление колебаний с помощью векторных диаграмм и комплексных чисел.
Пусть,
где
.
Возьмём
,
.
Тогда
,
а уравнение
описывает движение проекций конца
вектора по соответствующим осям. Пусть
теперьxy
– комплексная плоскость. Тогда
.
Фазовая плоскость
(пространство) – геометрический образ,
представимый множеством состояний
системы
или
.
Фазовая точка – точка фазовой плоскости, определяемая скоростью и координатой и соответствующая определённому состоянию системы.
Фазовая траектория – линия, которую описывает точка на фазовой плоскости при изменении состояния системы.
Фазовый портрет маятника
– фазовая траектория маятника:
или
(
или
).
Фазовый
портрет для гармонических колебаний:
.
Свободные затухающие колебания
Пружинный маятник:
.,
где
- параметр (коэффициент) затухания,
.
Математический маятник:
.
Решение уравнения свободных затухающих колебаний:
Предположим, что
.
Тогда
,
.
,.
Отсюда.
Обозначив
,
получим:
- решение уравнения свободных затухающих
колебаний.
Если трение мало
,
то
.
Основные характеристики затухающих колебаний.
В
ремя
релаксации – время, в течение которого
значение параметра убывает вe
раз:
.
Декремент затухания
характеризует, во сколько раз амплитуда
колебаний убывает за один период:
.
Логарифмический декремент
затухания характеризует, во сколько
раз изменяется логарифм убывания
амплитуды:
.
Пусть
и совершаетсяN
колебаний, т.е.
.
Тогда
,
.
Скорость и ускорение
затухающих колебаний:
,,.
Добротность системы
.
Энергия,
.
.
При
.
Вынужденные колебания
Д
ля
пружинного маятника:
,
гдеm
– масса тела, F
– амплитуда силы,
- циклическая частота
силы.
Для математического маятника:
.
Длительность переходного режима совпадает со временем релаксации.
- амплитудно-частотная характеристика
вынужденных колебаний,
- фазо-частотная характеристика
вынужденных колебаний.
Общее уравнение: , где первое слагаемое представляет собой начальное колебаний системы, которое из-за затухания постепенно сходит на нет, а второе – установившийся режим вынужденных колебаний.
Резонанс.
Найдём
максимум амплитуды колебаний в зависимости
от частоты воздействующей силы. Для
этого решим уравнение
.
Получим:
.
Резонанс – явление резкого
возрастания (убывания) амплитуды
вынужденных колебаний при стремлении
частоты воздействия внешней силы к
частоте собственных колебаний (точнее,
к величине
,
где
- коэффициент затухания, но обычно
).
Резонансная частота – частота внешней возбуждающей силы, при которой достигается максимум амплитуды вынужденных колебаний.
Наложение колебаний
Сложение колебаний одного направления
Пусть
,.
Тогда.
Векторная диаграмма:
,
,
.
Тогда
,
Таким образом, .
Б
иения:
Рассмотри два колебания:
и,
где
.
Результирующее колебания будет
описываться уравнением
.
Частота биения:
,
период
.
Взаимно перпендикулярные колебания
Рассмотрим два колебания,
происходящие во взаимно перпендикулярных
направлениях:
,
.
Фигура Лиссажу - эта линия, которую описывает тело, одновременно колеблющееся в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Свойства фигур Лиссажу:
Механические волны
Распространение волн в упругой среде
Волны – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.
Упругие волны – волны, распространяющиеся в упругой среде.
Волновая поверхность – геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе.
Волновой фронт – поверхность, разделяющая возмущённую и невозмущённую части среды.
Виды волн:
Поперечные – колебания в которых происходят поперёк направления распространения.
Продольные – колебания в которых происходят вдоль направления распространения.
В газообразной и жидкой среде колеблется плотность или, что то же, давление. В твёрдой среде и на границе раздела фаз – деформация или, что то же, механическое напряжение.
Волновое уравнение
И
сследуем
колебания струны. Пусть в какой-то момент
времени струна деформирована так, как
показано на рисунке. Тогда уравнение
движения для этой струны выглядит так:
.
Т.к.
и
,
то
.
Спроектируем это уравнение на ось
:
и на осьz
:
.
Т.к.иочень малы, то
,.
Тогда
.
Введём линейную плотность
,
тогда
.
Таким образом мы получили волновое
уравнение поперечной волны:
,
где
.
Волновое уравнение для
продольной волны выглядит так:
,
где
,p
– давление в среде распространения
волны.
Анализ механических волн
Пусть
.
Тогда
,
и
,
,
,
.
Подставим это в волновое уравнение:
.
Общее решение волнового уравнения: , гдеи- произвольные функции.
Гармоническое решение волнового уравнения: .
Период волны
,
фаза волны
.
- фазовая скорость волны.
Длина волны – расстояние,
на которое распространяется волна за
один период,
Волновое число
.
Волновой вектор:
,сонаправлен с направлением распространения
волны.
Фазовая скорость волны –
скорость, с которой движутся точки
волны, колеблющиеся в одной фазе.
.
Геометрические свойства волн
Для трёхмерного случая
выражение
,
где
- это оператор Лапласа, в декартовой
системе координат
.
Плоские, цилиндрические и сферические волны – волны, волновой фронт которых представляет собой соответственно плоскость, цилиндр и сферу.
В случае плоской волны в
волновом уравнении достаточно заменить
,
т.е.
.
Для цилиндрической волны
или, для гармонических колебаний,
.
Здесь- проекция волнового вектора на ось.
Уравнение сферической
волны:
,
.
Здесь
- проекция волнового вектора на
радиус-вектор.
Бегущие и стоячие волны
Если , то направление распространения волны сонаправленно с осьюz . Если же , то направление распространения волны противоположно направлено осиz .
Рассмотрим сложение двух одинаковых волн, двигающихся навстречу друг другу. Т.е. пусть ,. Тогда- уравнение стоячей волны.
Узлы – это точки, амплитуда
колебаний которых равна 0 (т.е.
).
Пучности – это точки,
амплитуда колебаний которых максимальна
(т.е.
).
Длина стоячей волны
.