Формулы для дифференцирования неявно заданных функций. Производная функции, заданной неявно
Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).
Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:
То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:
Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если
В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":
Эта же формула "полной производной" в случае:
примет вид:
Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).
Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.
Пример 1.10. Дано:
Согласно (1.31):
§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:
Пример 1.12. Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z" x , z" y .
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
§8 Частные производные второго и более высоких порядков
Определение 1.9 Частные производные второго порядка функции z=z(x,y) определяются так:
Их оказалось четыре. Причем, при некоторых условиях на функции z(x,y) выполняется равенство:
Замечание. Частные производные второго порядка могут обозначаться и так:
Определение 1.10 Частных производных третьего порядка - восемь (2 3).
Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительноZ. Найдем частные производныефункцииZзаданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместоZфункцию f(х;у) получим тождествоF(x,y, f(х,у))=0. Частные производные поxи yфункции, тождественно равной нулю, также равны нулю.
F(x,y,
f (х, у)) =
=0
(yсчитаем постоянным)
F(x,y,
f (х, у)) =
=0
(xсчитаем постоянным)
Откуда
и
Пример
: Найти частные производные
функцииZзаданной
уравнением
.
Здесь F(x,y,z)=
;
;
;
.
По формулам приведенным выше имеем:
и
Производная по направлению
Пусть функция двух переменных Z= f(x;
у) задана в некоторой окрестности т. М
(x,y).
Рассмотрим некоторое направление,
определяемое единичным вектором
,
где
(см. рис.).
На прямой, проходящей по этому направлению
через т. М возьмем т. М 1 (
)
так, что длина
отрезкаMM 1 равна
.
Приращение функцииf(M)
определяется соотношением,
где
связаны соотношениями.
Предел отношенияпри
будет называться производной функции
в точке
по направлениюи обозначаться.
=
Если функция Zдифференцируема
в точке
,
то ее приращение в этой точке с учетом
соотношений для
может быть записано в следующей форме.
поделив обе части на
и переходя к пределу при
получим формулу для производной функции
Z= f(х; у) по направлению:
Градиент
Рассмотрим функцию трех переменных
дифференцируемой в некоторой точке
.
Градиентом этой функции
в точке М называется вектор, координаты
которого равны соответственно частным
производным
в этой точке. Для обозначения градиента
используют символ
.
=
.
.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.
Поскольку единичный вектор
имеет координаты (
),
то производная по направлению для случая
функции трех переменных записывается
в виде,
т.е.имеет формулу скалярного произведения
векторови
.
Перепишем последнюю формулу в следующем
виде:
,
где- угол между вектороми
.
Поскольку
,
то отсюда следует, что производная
функции по направлению принимаетmaxзначение при=0,
т.е. когда направление векторови
совпадают. При этом
.Т.е.,
на самом деле градиент функции
характеризует направление и величину
максимальной скорости возрастания этой
функции в точке.
Экстремум функции двух переменных
Понятия max,min,
экстремума функции двух переменных
аналогичны соответствующим понятиям
функции одной переменной. Пусть функция
Z= f(x; у) определена в
некоторой областиDи т.
М
принадлежит к этой области. Точка М
называется точкойmaxфункции Z= f(x; у), если
существует такая δ-окрестность точки
,
что для каждой точки из этой окрестности
выполняется неравенство
.
Аналогичным образом определяется и
точкаmin, только знак
неравенства при этом изменится
.
Значение функции в точкеmax(min) называется максимумом
(минимумом). Максимум и минимум функции
называются экстремумами.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Теорема:
(Необходимые условия
экстремума). Если в точке М
дифференцируемая функция Z= f(x;
у) имеет экстремум, то ее частные
производные в этой точке равны нулю:
,
.
Доказательство:
зафиксировав одну
из переменныхxилиy,
ревратим Z= f(x; у) в функцию
одной переменной, для экстремума которой
вышеописанные условия должны выполняться.
Геометрически равенства
и
означают, что в точке экстремума функции
Z= f(x; у), касательная
плоскость к поверхности, изображающую
функциюf(x,y)=Zпараллельна плоскостиOXY,
т.к. уравнение касательной плоскости
естьZ=Z 0.
Точка, в которой частные производные
первого порядка функции Z= f(x;
у) равны нулю, т.е.
,
,
называются стационарной точкой функции.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных
не существует. НапримерZ=|-
|
имеетmaxв точкеO(0,0),
но не имеет в этой точке производных.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, приZ=xyточкаO(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функцияZ=xyне имеет. (Т.к. вIиIIIчетвертяхZ>0, а вIIиIV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.
Теорема
: (Достаточное условие
экстремумов). Пусть в стационарной точке
и некоторой окрестности функция f(x;
у) имеет непрерывные частные производные
до 2 ого порядка включительно.
Вычислим в точке
значения
,
и
.
Обозначим
В случае если
,
экстремум в точке
может быть, а может и не быть. Необходимы
дополнительные исследования.
Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:
,
Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.
Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.
Пример 1.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:
После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:
.
Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.
Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию
то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:
Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z=ƒ(х;у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.
Если z = ƒ(х;у) - дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z - ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде
где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы - они дифференцируемые). Получаем:
Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными